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概率论和数理统计:条件概率是什么?我们可以用它解决什么问题?

时间:2020-04-20 12:05:50 浏览: 作者:庞铮

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正文

条件概率,可以理解为事件A在事件B的发生的前提下,事件A发生的概率。我们来举一个例子。

一个家庭中有两个小孩,已知至少一个是女孩,问两个都是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)

由题意,样本空间为

S={(兄、弟),(兄、妹),(姐、弟),(姐、妹)}

A={(兄、妹),(姐、弟),(姐、妹)}

B={(姐、妹)}

由于事件A已经发生,所以这时试验的所有可能结果只有三种,而事件B包含的基本事件只占其中的一种,所以有

P(B|A)表示A发生的条件下B发生的条件概率,要是没有事件A发生的条件,那么此时事件B发生的概率为p(B)=1/4,所以这里p(B)≠p(B|A)

我们可以理解为条件事件改变了样本空间,它让样本空间变小了。使它由原来样本空间S缩减为原来的新的样本空间A

条件概率示意图


条件概率有如下性质:

而且条件概率拥有概率的所有性质:

除了条件概率的性质之外,还有条件概率的乘法公式

我们来看一个对条件概率乘法公式和条件概率性质使用的例子:

一盒中有5个红球,4个白球,采用不放回抽样,每次取一个,取3次.

(1)求前两次中至少有一次取到红球的概率;

(2)已知前两次中至少有一次取到红球,求前两次中恰有一次取到红球的概率;

(3)求第1,2次取到红球第3次取到白球的概率.

解答这种题第一步是写出事件,然后组合这些事件构成答案的要求的事件,然后外面套一个p开始求这个概率

考试例子

某人参加某种技能考核,已知第1次参加能通过的概率为60%;若第1次未通过,经过努力,第2次能通过的概率为70%;若前二次未通过,则第3次能通过的概率为80%。求此人最多3次能通过考核的概率。